Capitalización continua

La Capitalización continua es una fórmula que ayuda a calcular el valor presente y el valor futuro de cierta cantidad, añadiendo los intereses que se van acumulando. Por tanto, los intereses que se ganan en un periodo se suman a la cantidad inicial y se vuelven a invertir en el siguiente periodo, capitalizando nuevos intereses y así sucesivamente.

La capitalización continua se considera un tipo de capitalización compuesta.¹ Si se tiene una tasa nominal constante y la capitalización es más frecuente, el monto compuesto (capital + intereses) aumenta. Esto quiere decir que cuanto más rápido es la capitalización de los intereses, mayor será el monto esperado. La periodicidad instantánea sería cuando «m» tiende a infinito. Si «m» tiende a infinito, también «v».²

Las fórmulas para obtener el valor futuro y presente de la capitalización continua son: ${\displaystyle M\ =\,C\left({1+{\frac {i}{m}}}\right)^{mt}}$

${\displaystyle v\ =\ {\frac {m}{i}}}$

${\displaystyle M\,=\,C\left[\left(1+{\frac {i}{m}}\right)^{v}\,\right]^{it}}$

${\displaystyle \lim _{v\to \,\infty }\,C\left[\left(1+{\frac {i}{m}}\right)^{v}\,\right]^{it}\ =\,Ce^{it}}$

Donde:

• M = Valor Futuro
• C = Valor Presente
• ${\displaystyle i}$ = Tasa Efectiva
• ${\displaystyle m}$ = Periodicidad
• ${\displaystyle t}$ = Tiempo

Por lo tanto simplificando la fórmula, el valor futuro y el valor presente calculado a una tasa instantánea o de capitalización continua será:

${\displaystyle M\ =\,Ce^{it}}$

${\displaystyle C\,={\frac {M}{e^{it}}}}$

La nomenclatura se respeta siendo la misma de arriba.

https://es.wikipedia.org/wiki/Capitalizaci%C3%B3n_continua

CONCLUSION

los intereses que se ganan en un periodo se suman a la cantidad inicial y se vuelven a invertir en el siguiente periodo, capitalizando nuevos intereses y así sucesivamente. Es importante por que ayuda a calcular el valor futuro y el presente.

cuando los periodos de interés son menores que los periodos de pago.

Cuando  los periodos de interés son menores que los periodos de pago, entonces el interés puede capitalizarse varias veces entre los pagos. Una manera de resolver problemas de este tipo es determinar la tasa de interés efectiva para los periodos de interés dados y después analizar los pagos por separado.EJEMPLOSuponga que Ud. deposita $1,000.00 al fin de cada año en una cuenta de ahorros. Si el banco le Suponga que Ud. deposita $1,000.00 al fin de cada año en una cuenta de ahorros. Si el banco le paga un interés del 6% anual, capitalizado trimestralmente, ¿cuánto dinero tendrá en su cuenta después de cinco años?

Datos:

FORMULA

Este problema también se puede resolver calculando la tasa efectiva de interés para el periodo  de pago dado y después proceder como cuando los periodos de pago y los de interés coinciden. Esta tasa de interés efectiva puede determinarse como:

i =  1 (1+r/ α)*-1

En donde:

α = Número de periodos de interés por periodo de pago =  Interés nominal para ese periodo de pago

α = m  (Cuando el periodo de pago es un año); por lo tanto se obtiene la siguiente ecuación                para determinar la tasa efectiva de interés anual:

i =  1 1mrm + −  Resolviendo el problema anterior utilizando ahora la tasa efectiva de interés anual:

Tenernos quera = 6%

α = m= 4

Por lo tanto:

i =  40.061 14 + −    = 0.06136

Resolviendo:

F=A(F/A, 6.136%,5) = 1,000 5(1 0.06136) 10.06136+ −  = $5,652.40

Tasas nominales y efectivas/ejercicio

Tasas nominales y efectivas/ejercicio

Las tasas de interés nominales y efectivas tienen la misma relación que entre sí guardan el interés simple y el compuesto. La diferencia es que las tasas de interés efectivas se utilizan cuando el periodo de capitalización (o periodo de interés) es menor a un año, por ejemplo 1% mensual, deben considerarse los términos de las tasas de interés nominales y efectivas.

El diccionario define la palabra nominal como “pretendida, llamada, ostensible o profesada”. Estos sinónimos implican que una tasa de interés nominal no es una tasa correcta, real, genuina o efectiva.

Las tasas de interés nominales deben convertirse en tasas efectivas con el fin de reflejar, en forma precisa, consideraciones del valor del tiempo. Antes de analizar las tasas efectivas, sin embargo, es preciso definir la tasa de interés nominal, r, como la tasa de interés por periodo por el número de periodos. En forma de ecuación,

R = tasa de interés del periodo * número de periodos.

Puede encontrarse una tasa de interés nominal para cualquier periodo de tiempo mayor que el periodo originalmente establecido. Por ejemplo, una tasa de interés de una periodo que aparece como 1.5% mensual también puede expresarse como un 4.5% nominal por trimestre.

La tasa de interés nominal obviamente ignora el valor del dinero en el tiempo y la frecuencia con la cual se capitaliza el interés. Cuando se considera el valor del dinero en el tiempo al calcular las tasas de interés a partir de las tasas de interés del periodo, la tasa se denomina tasa de interés efectiva. De igual manera que fue válido para las tasas de interés nominales, las tasas efectivas pueden determinarse para cualquier periodo de tiempo mayor que el periodo establecido originalmente.

Para comprender la diferencia entre tasas de interés nominales y efectivas, se determina el valor futuro de $100 dentro de 1 año utilizando ambas tasas. Si un banco paga el 12% de interés compuesto anualmente, el valor futuro de $100 utilizando una tasa de interés del 12% anual es:

F = P(1+i)n = 100(1.12)1 = $112.00

Por otra parte, si el banco paga un interés que es compuesto semestralmente, el valor futuro debe incluir el interés sobre el interés ganado en el primer periodo. Una tasa de interés del 12% anual, compuesto semestralmente significa que el banco pagará 6% de interés después de 6 meses y otro 6% después de 12 meses. Por lo tanto, los valores futuros de $100 después de 6 meses y después de 12 meses son:

F6 = 100(1.06)1 = $106.00

F12 = 106(1.06)1 = $112.36

Donde 6% es la tasa de interés efectiva semestral. En este caso, el interés ganado en 1 año es de $12.36 en vez de $12.00; por consiguiente, la tasa de interés efectiva anual es de 12.36%. la ecuación para determinar la tasa de interés efectiva a partir de la tasa de interés nominal puede generalizarse de la siguiente manera:

i = (1 +r/m)m - 1

donde: i = tasa de interés efectiva por periodo

r = tasa de interés nominal por periodo

m = número de periodos de capitalización

http://yo199.blogspot.mx/p/tasas-nominales-y-efectivasejercicio.html

COMENTARIO PERSONAL:

este siempre se va a expresar en una tasa anual y es la tasa que generalmente se cita al describir transacciones que involucran un interés.